Achim Bachem

The main theorem of Linear Programming Duality, relating a "pri- mal" Linear Programming problem to its "dual" and vice versa, can be seen as a statement about sign patterns of vectors in complemen- tary subspaces of Rn. This observation, first made by R. T. Rockafellar in the late six- ties, led to the introduction of certain systems of sign vectors, called "oriented matroids". Indeed, when oriented matroids came into being in the early seventies, one of the main issues was to study the fun- damental principles underlying Linear Progra.mrning Duality in this abstract setting. In the present book we tried to follow this approach, i.e., rather than starting out from ordinary (unoriented) matroid theory, we pre- ferred to develop oriented matroids directly as appropriate abstrac- tions of linear subspaces. Thus, the way we introduce oriented ma- troids makes clear that these structures are the most general -and hence, the most simple -ones in which Linear Programming Duality results can be stated and proved. We hope that this helps to get a better understanding of LP-Duality for those who have learned about it before und a good introduction for those who have not.

J. Aufgaben des Operations Research Das Operations Research befaßt sich mit der Anwendung mathematischer Methoden zur Vorbereitung von Entscheidungen, die optimal im Sinne gewisser Zielsetzungen sein sol­ len. Dabei versucht man, reale Probleme, etwa der Volks-oder Betriebswirtschaft, durch mathematische Modelle zu beschreiben. In diesen Modellen, oft Systeme von Gleichungen und Ungleichungen, wird' das Problem gelöst. Das Ergebnis kann dann als Entscheidungs­ kriterium für die reale Fragestellung herangezogen werden. Es ist im allgemeinen recht schwierig zu entscheiden, mit welchem mathematischen Modell ein konkretes Problem zu behandeln ist, denn häufig müssen bei der Modellbil­ dung Vereinfachungen vorgenommen werden, die erst eine mathematische Formulierung erlauben. Die Art und der Grad der Simplifizierung beeinflussen zum einen das Modell, zum anderen aber auch die Aussagefähigkeit des gewählten Modells beim Rü'kschluß auf die Realität. Eine weitere Schwierigkeit bei der Modellbildung liegt in der Beschaffung von Daten, die es unmöglich, sämtliche charakteristischen Größen das System beschreiben sollen. Oft ist B. Größen, die von menschlichem Verhalten abhängen). Manch­ quantitativ zu erfassen (z. h. mit einer gewissen Streubreite, angegeben mal können die Daten auch nur ungefähr, d. werden. Ziel dieser Einführung in das Operations Research soll sein, die verschiedenen mathemati­ schen Modelle mit ihren Hauptanwendungsgebieten und typischen Beispielen vorzustel­ len. Teil B befaßt sich mit deterministischen Modellen, speziell der linearen Programmie­ rung. Der Teil C gibt einen Überblick über probabilistische Modelle, also solche Modelle, die die Unsicherheit der Daten in Betracht ziehen.