Christine Bernardi

Navier–Stokes equations are one of the most impactful techniques for modeling physical flow phenomena. The coupling of velocity and pressure, along with the nonlinearity, is a challenge for the mathematical and numerical analysis of these equations. This self-contained book provides a thorough theoretical study of finite element methods for solving incompressible Navier–Stokes equations, which model ?ow of incompressible Newtonian ?uids and are used in many practical applications. It focuses on efficient and widely used finite element methods that are well adapted to large-scale simulations. In this revised and expanded edition of Girault and Raviart's 1986 textbook Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations (Springer-Verlag), readers will find rigorous proof of stability and convergence, analysis of practical algorithms, and a stand-alone chapter on finite element methods that is applicable to a large range of PDEs. In addition to the basic theoretical analysis, this book covers up-to-date finite element discretizations of incompressible Navier–Stokes equations; a variety of numerical algorithms used in the computer implementation of Navier–Stokes equations and numerical experiments; standard and nonstandard boundary conditions and their numerical discretizations via the finite element methods; and conforming and nonconforming finite elements, as well as their stability and instability.

Les mA(c)thodes spectrales sont une technique rA(c)cente d'approximation de la solution d'A(c)quations aux dA(c)rivA(c)es partielles par des polynAmes de haut degrA(c). Elles ont un degrA(c) de prA(c)cision infini: l'ordre de l'erreur ne dA(c)pend que de la solution A approcher. Leur utilisation s'est A(c)normA(c)ment dA(c)veloppA(c)e ces derniA]res annA(c)es. Le sujet de ce livre est l'analyse numA(c)rique des mA(c)thodes spectrales. Il prA(c)sente de faAon unifiA(c)e les notions de base, parmi lesquelles certains rA(c)sultats rA(c)cents, et donne quelques applications (en particulier la discrA(c)tisation du problA]me de Stokes). Une attention particuliA]re est portA(c)e A l'optimalitA(c) des rA(c)sultats, dA(c)montrA(c)e grA[ce A des contre-exemples appropriA(c)s. La lecture du livre permet aux A(c)tudiants de D. E. A. d'analyse numA(c)rique et aux chercheurs intA(c)ressA(c)s par le sujet d'acquA(c)rir une connaissance complA]te de la mA(c)thode pour des problA]mes modA]le, ainsi que les idA(c)es de base permettant de la mettre en A"uvre. Un formulaire regroupe les formules de base sur les polynAmes orthogonaux pour faciliter la lecture. L'ouvrage contient des nombreux exercices.

L'analyse numérique de deux types de discrétisations variationnelles est effectuée en détail pour des problèmes elliptiques: les méthodes spectrales et les méthodes d'éléments finis. Les avantages de chaque type sont mis en valeur, et leur mise en oeuvre est décrite. L'originalité de cet ouvrage est d'insérer ces deux types de discrétisation dans un cadre abstrait commun, ce qui permet au lecteur d'étendre l'approche à bien d'autres méthodes et problèmes. Sont présentés également un algorithme pour coupler ces méthodes dans un cadre de décomposition de domaine et une application aux écoulements de fluides incompressibles dans des milieux poreux. L'ouvrage s'adresse aux étudiants de 3ème cycle en mathématiques appliquées et mécanique, ainsi qu'à tous les ingénieurs intéressés par la simulation numérique.

Les méthodes spectrales sont une technique récente d'approximation de la solution d'équations aux dérivées partielles par des polynômes de haut degré. Elles ont un degré de précision infini: l'ordre de l'erreur ne dépend que de la solution à approcher. Leur utilisation s'est énormément développée ces dernières années. Le sujet de ce livre est l'analyse numérique des méthodes spectrales. Il présente de façon unifiée les notions de base, parmi lesquelles certains résultats récents, et donne quelques applications (en particulier la discrétisation du problème de Stokes). Une attention particulière est portée à l'optimalité des résultats, démontrée grâce à des contre-exemples appropriés. La lecture du livre permet aux étudiants de D. E. A. d'analyse numérique et aux chercheurs intéressés par le sujet d'acquérir une connaissance complète de la méthode pour des problèmes modèle, ainsi que les idées de base permettant de la mettre en œuvre. Un formulaire regroupe les formules de base sur les polynômes orthogonaux pour faciliter la lecture. L'ouvrage contient des nombreux exercices.