Dietmar Sommer

Der vorliegende Bericht knüpft an zwei frühere Berichte ([8] und [9] *) an. Während [9] der Anwendung des Digitalrechners zur Herstellung konformer Abbildungen ge­ widmet war, wird hier (Abschnitt 1) zunächst die Anwendung des Analogrechners zur Herstellung konformer Abbildungen behandelt. Die dafür geeigneten Schaltungen und die Frage nach deren Stabilität werden eingehend untersucht und auf eine größere Zahl von Beispielen angewandt; die Grenzen der Anwendungsmöglichkeit werden auf­ gezeigt. Sodann wird (Abschnitt 2) in teilweiser Anknüpfung an ein schon in [8] auf­ gegriffenes Problem - die ( ebene) U mströmung zweifach zusammenhängender Bereiche­ behandelt, und zwar zunächst an Hand der schon von LAGALLY [7] angegebenen kom­ plexen Potentialfunktion für die Umströmung zweier Kreise. Das im vorliegenden Bericht angewandte Verfahren gestattet es, die Abhängigkeit dieser Strömung von der relativen Lage und dem Radienverhältnis der beiden Kreise sowie der Zirkulation um diese durch Herstellung einer größeren Anzahl von Strömungsbildern mit erträglichem Aufwand zu untersuchen. Schließlich wird durch Anwendung eines in [9] behandelten numerischen Verfahrens mittels konformer Abbildung die Umströmung zweier Profile auf die Umströmung zweier Kreise zurückgeführt (Abschnitt 3). Einige Hilfsmittel zur Behandlung der in Abschnitt 2 benötigten höheren transzendenten Funktionen sind in Abschnitt 4 zu­ sammengestellt. 1. Anwendungsmöglichkeiten des Analogrechners bei der Herstellung konformer Abbildungen 1. 1 Kurze Zusammenstellung der in diesem Bericht verwendeten Operations­ und Schaltsymbole. Stabilitätsbetrachtungen Beim elektronischen Analogrechner werden die Rechengrößen durch mit der Zeit t veränderliche elektrische Spannungen U =u(t) dargestellt. Aus der Eingangsspannung ue(t) wird in einem geeigneten RechenelementF die Ausgangsspannung ua(t) = F(ue(t» gebildet.

Implizite RUNGE-KUTTA-Formeln wurden erstmals in einer Reihe von Arbeiten ( 1], 2], 3]) von J. C. BUTCHER systematisch untersucht. Hierbei wurden ver schiedene Annahmen uber die Lage der n Stiitzstellen getroffen. Fur die behan delten Falle wurde die Fehlerordnung angegeben und der Beweis fUr die Ein deutigkeit des jeweiligen Verfahrens gefUhrt. Die Berechnung der Koeffizienten durch Auflosen der sie bestimmenden Gleichungssysteme wurde nur fUr n 6 durchgefiihrt. Bis n = 11 wurden sie zahlenmaf3ig in 4] mit 20 Stellen hinter dem Komma angegeben. In 5] findet sich zwar ein Beweis, dan die impliziten RUNGE-KuTTA-Formeln mit der Stutzstellenverteilung nach GAUSS eine Fehlerordnung von 2 n + 1 haben, jedoch wird hier nichts uber die praktische Verwendbarkeit dieser Formeln im allgemeinen Falle gesagt. Das im folgenden angegebene Rechenverfahren fUr die Koeffizienten wurde auf der GAMM-Tagung in Wien 1965 6] vorgetragen. Das Verfahren umgeht die von BUTCHER angewandte Methode der numerischen Losung eines linearen Gleichungssystems von n Gleichungen mit n rechten Seiten. Die hier entwickelte formelmaf3ige Beschreibung des Verfahrens fiihrt zu einer bequemen Ermittlung der inversen Matrix des Gleichungssystems. Damit ergibt sich eine betrachtliche Ersparnis an Rechenaufwand."