Fritz Reutter

Der vorliegende Bericht knüpft an zwei frühere Berichte ([8] und [9] *) an. Während [9] der Anwendung des Digitalrechners zur Herstellung konformer Abbildungen ge­ widmet war, wird hier (Abschnitt 1) zunächst die Anwendung des Analogrechners zur Herstellung konformer Abbildungen behandelt. Die dafür geeigneten Schaltungen und die Frage nach deren Stabilität werden eingehend untersucht und auf eine größere Zahl von Beispielen angewandt; die Grenzen der Anwendungsmöglichkeit werden auf­ gezeigt. Sodann wird (Abschnitt 2) in teilweiser Anknüpfung an ein schon in [8] auf­ gegriffenes Problem - die ( ebene) U mströmung zweifach zusammenhängender Bereiche­ behandelt, und zwar zunächst an Hand der schon von LAGALLY [7] angegebenen kom­ plexen Potentialfunktion für die Umströmung zweier Kreise. Das im vorliegenden Bericht angewandte Verfahren gestattet es, die Abhängigkeit dieser Strömung von der relativen Lage und dem Radienverhältnis der beiden Kreise sowie der Zirkulation um diese durch Herstellung einer größeren Anzahl von Strömungsbildern mit erträglichem Aufwand zu untersuchen. Schließlich wird durch Anwendung eines in [9] behandelten numerischen Verfahrens mittels konformer Abbildung die Umströmung zweier Profile auf die Umströmung zweier Kreise zurückgeführt (Abschnitt 3). Einige Hilfsmittel zur Behandlung der in Abschnitt 2 benötigten höheren transzendenten Funktionen sind in Abschnitt 4 zu­ sammengestellt. 1. Anwendungsmöglichkeiten des Analogrechners bei der Herstellung konformer Abbildungen 1. 1 Kurze Zusammenstellung der in diesem Bericht verwendeten Operations­ und Schaltsymbole. Stabilitätsbetrachtungen Beim elektronischen Analogrechner werden die Rechengrößen durch mit der Zeit t veränderliche elektrische Spannungen U =u(t) dargestellt. Aus der Eingangsspannung ue(t) wird in einem geeigneten RechenelementF die Ausgangsspannung ua(t) = F(ue(t» gebildet.

Die rasche Entwicklung der modernen elektronischen Rechenanlagen und ihre fortschreitende Verbreitung haben es ermoglicht, da die Aufgaben des numerischen Rechnens im ingenieurwissenschaftlichen Bereich heute zu einem uberwiegenden Teil von elektronischen Rechenanlagen ubernom- men werden. HierfUr sind im letzten Jahrzehnt sowohl weitere schlagkraf- tige numerische Verfahren als auch die erforderlichen Rechenprogramme und Programmiersprachen entwickelt worden. Dagegen ist ein anderer Bereich der Ingenieurtatigkeit bisher noch kaum in der Lage, sich der modernen Hilfsmittel, wie sie die Datenverarbei- tungsanlagen bieten, zu bedienen und damit seine Arbeit zu rationalisie- reno Es handelt sich urn solche Aufgaben, die mit Hilfe von Methoden der konstruktiven, insbesondere der Darstellenden Geometrie, nach wie vor zeichnerisch gelost werden mussen. Fur die Automatisierung solcher Ar- beiten bieten sich grundsatzlich zwei Moglichkeiten an: 1. die zu losenden Aufgaben und das anzuwendende zeichnerische Verfah- ren werden in der Sprache der analytischen Geometrie formuliert und danach mit Hilfe eines Rechenautomaten numerisch gelost, so da die Daten fUr die Steuerung eines automatischen Zeichengerates gewonnen werden konnen. 2. Die auszufUhrenden Konstruktionen konnten ohne explizite Heranziehung der Hilfsmittel der analytischen Geometrie auf ihre geometrischen Grundoperationen zuruckgefUhrt werden. Diesen waren dann entspre- chende logische Grundoperationen zuzuordnen, mit deren Hilfe eine spezifische geometrische Programmiersprache zu entwickeln ware.

In einem früheren Forschungsbericht [20] wurden die Ergebnisse von Unter­ suchungen über die numerische Behandlung von Anfangswertproblemen ge­ wöhnlicher Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von LIE-Reihen mitgeteilt (vgl. hierzu auch [13] bis [16])*. Doch erweist sich die LIE-Reihen-Methode auch für eine ganze Reihe anderer Probleme aus verschiedenen Gebieten der Mathematik als ein mitunter recht nützliches Hilfsmittel. Hierher gehört zu­ nächst ihre Anwendung zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen [7], [24]. Da sich Systeme partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Gleichungen ihrer Charakteristiken auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurück­ führen lassen, bietet sich schon auf diesem Wege eine Anwendung der Methode zur Behandlung von Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen an [8]. Der vorliegende Bericht befaßt sich mit zwei Anwendungen der LIE-Reihen­ Methode auf zwei voneinander unabhängige Problemkreise. Zunächst wird im 1. Teil eine Anwendung der Methode zur unmittelbaren Behandlung von Rand­ wertproblemen bei gewissen linearen partiellen Differentialgleichungen dargelegt. Die Entwicklung des Verfahrens und seine numerische Erprobung erfolgt am Beispiel der Grundgleichungen der Schalentheorie. Sodann wird im 2. Teil auf Grund der schon von W. GRÖBNER [8] gegebenen Anwendung der LIE-Reihen zur Inversion von Funktionensystemen ein numerisches Verfahren zur Auf­ lösung beliebiger (nichtlinearer) Gleichungssysteme aufgezeigt. Die im 1. Teil benötigten Annahmen und Gleichungen der Schalentheorie werden zuvor kurz entwickelt (vgl. auch [17], [21]).

In zwei früheren Forschungsberichten [13], [14] wurde über Untersuchungen über die nomographische Darstellung von Funktionen einer komplexen Ver­ änderlichen, insbesondere elliptischer Funktionen, sowie über die Darstellung von Systemen von zwei Funktionen zweier reeller Veränderlichen berichtet. Die Gegenstände des jetzt vorliegenden Berichtes stehen auf mehrfache Weise mit den damaligen Untersuchungen in Zusammenhang. In Kap. I werden, anknüpfend an die früher mitgeteilten Ergebnisse zur nomographischen Dar­ stellung von Funktionensystemen, theoretische Fragen der Nomographie, die seit langem ungeklärt waren, behandelt. Insbesondere lassen sich dabei auch Aussagen gewinnen, die das Eindeutigkeitsproblem der Nomographie betreffen. Die elektronische Berechnung der in [13], [16], [17] mitgeteilten Nomogramme gab Anlaß zu Überlegungen über eine möglichst zweckmäßige Berechnungs­ weise der Funktionswerte elliptischer Funktionen reeller Veränderlicher mit Hilfe eines elektronischen Rechengerätes. Eine solche Berechnungsweise wird in Kap. II für beliebige Werte des Moduls k 2 entwickelt. Da die Jacobischen elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments auf Grund der Additionstheoreme gebrochen rational aus den Funktionen eines reellen Arguments aufgebaut sind, ermöglicht das in Kap. II dargelegte Berech­ nungsverfahren auch die Herstellung von Tafeln Jacobischer Funktionen eines komplexen Arguments. Die hierfür notwendigen Überlegungen werden in Kap. III mitgeteilt. Ein danach hergestelltes Tafelwerk steht Interessenten zur Verfügung. Um seinen Umfang möglichst klein zu halten und dennoch eine auf möglichst viele Stellen genaue Bestimmung der Funktionswerte zu garantieren, wurde mit verschiedenen Schrittweiten gearbeitet. Diese wurden sogewählt, daß bei linearer bzw.

Ebene kompressible Strömungen in der Umgebung der Schallgeschwindigkeit, sog. transsonische Strömungen, sind von einer ganzen Reihe von Autoren be­ handelt worden. (Das Literaturverzeichnis enthält eine Auswahl aus der großen Zahl hierauf bezüglicher neuerer Arbeiten: [11], [12], [7], [27] bis [32], [26], [3], [10], [5], [8], [9], [21], [22], [33], [34)1. Es liegen auch bereits zusammenfassende Darstellungen vor ([6], [2)2, vgl. auch [13] und [20)). ) Doch handelt es sich um ein Problem von großem Schwierigkeitsgrad, und fast alle bisher vorliegenden Lösungen stellen nur Näherungslösungen dar bzw. sind nur zur Behandlung spezieller Aufgaben, z. B. Düsenströmungen, geeignet. Die im vorliegenden Bericht dargestellten Untersuchungen sollen einen weiteren Beitrag zur Behand­ lung solcher Aufgaben leisten. Ein Hauptziel aller Untersuchungen über trans­ sonische Strömungen ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Be­ rechnung einer Strömung bei vorgegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anströmung mit einer solchen Geschwindigkeit gestattet, daß ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Aufgabe führt auf ein Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung von gemischtem Typ. Wenn auch die Lösung solcher nichtlinearen Aufgaben unmittelbar in der Stromebene noch nicht allgemein möglich ist (vgl. hierzu jedoch [33)), so liegen doch Ansätze zur Behandlung in einer ge­ eigneten Bildebene vor. Durch die Transformation der Stromebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei jedoch die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand übergeht. Eine solche Transformation ist von TRICOMI angegeben worden. Sie wird inI. 2 kurz dargestellt.

Die großen Fortschritte der technischen Entwicklung zwingen immer mehr dazu, bisher verwendete technische Berechnungsmethoden durch genauere mathematische Verfahren zu ersetzen. Das führt dazu, daß Funktionen, die bisher im wesentlichen von rein mathematischem Interesse waren, sehr an praktischer Bedeutung gewinnen. So sind z. B. in den letzten Jahren an der Technischen Hochschule in Aachen eine Reihe von Arbeiten über Einflußflächen von Platten polygonaler Berandung [1J entstanden, bei denen konforme Abbildungen mit Hilfe Jacobischer elliptischer Funktionen hergestellt werden mußten. Dieselben Funktionen treten u.a. auch auf bei der Berechnung elektrischer Filter und bei zahlreichen zweidimen­ sionalen Problemen der Elektrotechnik, der Strömungslehre und der Ela­ stizitätstheorie, die mit Hilfe der konformen Abbildung eines polygona­ len Bereiches auf die Halbebene oder den Einheitskreis behandelt werden. Die Berechnung der zur Konstruktion einer solchen konformen Abbildung benötigten zahlreichen Funktionswerte von elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments führt aber auch bei Verwendung der bekannten Tafeln [2J der Jacobischen Funktionen eines reellen Arguments zu einem sehr großen, sich oft über Jahre erstreckenden Rechenaufwand, sofern man sich nicht eines elektronischen Rechenautomaten bedienen kann.