G. Polya

This classic of the mathematical literature forms a comprehensive study of the inequalities used throughout mathematics. First published in 1934, it presents clearly and exhaustively both the statement and proof of all the standard inequalities of analysis. The authors were well known for their powers of exposition and were able here to make the subject accessible to a wide audience of mathematicians.

A perennial bestseller by eminent mathematician G. Polya, How to Solve It will show anyone in any field how to think straight. In lucid and appealing prose, Polya reveals how the mathematical method of demonstrating a proof or finding an unknown can be of help in attacking any problem that can be "reasoned" out-from building a bridge to winning a game of anagrams. Generations of readers have relished Polya's deft-indeed, brilliant-instructions on stripping away irrelevancies and going straight to the heart of the problem.

zwar nur gelesenoder gehort abermit echtemInteresse und wirkIicher Einsicht verfolgt hat, kann zu einem Schema werden, zu einem Vor- bild, das sich bei der Losung ahnlicher Aufgaben mit Vorteil nacho ahmen laBt. Teil 1 setzt sioh zum Ziel, den Leser mit einigen der- artigen besonders niitzlichen Schemata bekanntzumachen. Es mag leicht sein, die LOsungeiner Aufgabe nachzuahmen, wenn man eineihr sehr ahnliche zu losenhat; eine solcheNachahmung wird sehwieriger oder kaum moglich sein, wenn keine sostarke AhnIichkeit vorliegt. Auch ist ein Verlangen nach etwas, was mehr ist als bloBe Nachahmung, tief verwurzelt in der menschlichen Natur: ein Ver- langen nach einem Verfahren, das, von Einschrankungen frei, aile Probleme, aile Aufgaben im weitesten Sinn losen kann. Dieses Ver- langen mag bei vielen Menschen dunkel bleiben, aber es tritt in ein paarMarchen - der Lesererinnertsiohvieileicht an die Geschichte von dem Zauberwort, das aile Tiiren offnet - und in den Schriften einiger Philosophen zutage. Descartes hat sioh intensiv mit der Idee einer universellen Methode zur Losung ailer Probleme befaBt, und Leibnitz hat die Idee einer vollkommenen Methode sehr klar formuliert. Aber die Suche nach einer universeilen vollkommenen Methode ist ebenso erfolglos geblieben wie die Suche nach dem Stein der Weisen, der niedrige Metaile in Gold verwandeln soilte; es gibt groBeTraume, die Traume bleiben mtissen. Dennoch iiben solche unerreichbaren Ideale ihren EinfluB aus: Es hat noch niemand den Polarstem erreicht, aber vielehaben siohnach ihm gerichtetund soden richtigenWeggefunden.

10 in denen meine Beobachtungen meine Schlusse zu stutzen scheinen. Aber ich achte das Urteil des Lesers und will ihn nicht zwingen oder auf irgendeine unsaubere Weise dazu bringen, meine Schlusse anzu- nehmen. Naturlich erheben die hier gebotenen Ansichten keinen Anspruch auf Endgultigkeit. Ich koennte in der Tat eine Reihe von Stellen ange- ben, wo ich klar empfinde, dass eine groessere oder kleinere Verbesse- rung am Platz ware. Ich glaube jedoch, dass die Hauptrichtung richtig ist, und ich hoffe, dass die Ausfuhrungen und vor allem die Beispiele in diesem Werk dazu beitragen moegen, die Doppelnatun und die komplementaren Aspekte) plausiblen, insbesondere induktiven Schliessens, zu erhellen, das zuweilen als objektiv) und zuweilen als subjektiv) erscheint. Stanford University Georg P6lya Mai 1953 VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE Die vorliegende zweite Auflage wurde erweitert durch einen An- hang. Dieser enthalt einen Aufsatz Heuristische Schlussweisen in der Zahlentheorie), entnommen dem American Mathematical Monthly mit der Genehmigung des herausgebenden Vereins, und zusatzliche Bemerkungen und Aufgaben zu verschiedenen Kapiteln. Herzlichen Dank Fraulein Dr. A. Roth fur die gewissenhafte UEber- setzung und Frau H. Bretscher fur freundliche Hilfe.

Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist das Buch in gewissem Sinn auch eine philosophische Abhandlung. Ebenso ist es eine Fortsetzung friiherer Arbeiten und verlangt selbst eine Fortsetzung. Ich werde auf diese Punkte der Reihe nach zu sprechen kommen. 1. Streng genommen besteht unser ganzes Wissen auIlerhalb der Mathematik und der demonstrativen Logik (die ja in der Tat ein Zweig der Mathematik ist) aus Vermutungen. Es gibt natiirlich Ver- mutungen und Vermutungen. Es gibt hOchst respektable und zu- verlassige Vermutungen wie die in gewissen allgemeinen Gesetzen der Naturwissenschaften niedergelegten. Es giht andere Vermutungen, die weder respektabel noch zuverlassig sind, und die einen zuweilen argern konnen, wenn man sie in der Zeitung Hest. Und zwischen diesen beiden Extremen stehen alle moglichen Arten und Schattierungen von Ver- muten, instinktivem Vorausfiihlen und Erraten. Wir sichern die Giiltigkeit unseres mathematischen Wissens durch demonstratives SchliefJen, aber wir stiitzen unsere Vermutungen durch plausibles SchliefJen. Ein mathematischer Beweis besteht aus demon- strativem SchlieIlen, aber der Induktionsbeweis des Physikers, der Indizienbeweis des Juristen, der dokumentarische Beweis des Ristori- kers, der statistische Beweis des Nationalokonomen gehoren zum plausiblen SchlieIlen. Der Unterschied zwischen den heiden SchluIlweisen ist groIl und mannigfaltig. Demonstratives SchlieBen ist sicher, unbestreitbar und endgiiltig. Plausibles Schlie!3en ist gewagt, strittig und provisorisch.

A guide to the practical art of plausible reasoning, this book has relevance in every field of intellectual activity. Professor Polya, a world-famous mathematician from Stanford University, uses mathematics to show how hunches and guesses play an important part in even the most rigorously deductive science. He explains how solutions to problems can be guessed at; good guessing is often more important than rigorous deduction in finding correct solutions. Vol. I, on Induction and Analogy in Mathematics, covers a wide variety of mathematical problems, revealing the trains of thought that lead to solutions, pointing out false bypaths, discussing techniques of searching for proofs. Problems and examples challenge curiosity, judgment, and power of invention.

A guide to the practical art of plausible reasoning, this book has relevance in every field of intellectual activity. Professor Polya, a world-famous mathematician from Stanford University, uses mathematics to show how hunches and guesses play an important part in even the most rigorously deductive science. He explains how solutions to problems can be guessed at; good guessing is often more important than rigorous deduction in finding correct solutions. Vol. II, on Patterns of Plausible Inference, attempts to develop a logic of plausibility. What makes some evidence stronger and some weaker? How does one seek evidence that will make a suspected truth more probable? These questions involve philosophy and psychology as well as mathematics.