H. P. Künzi

,, "'------ / I, I I I \ I, I I, 0 I ------- I ", \ I \ I, \, ", "- -, \ \ \ \ \,, I I J I, Fig. 5 gungen von (3. I) entsprechen, nlimlich: II: min {p' x + x' C x I A x = b, x O} (4. 6) und ill: min {p' x + x' C x I A x b}. (4. 7) Diese heiden Formulierungen dienen nur der mathematischen Vereinfachung. 'Sachlich bringen auch sie nichts Neues gegeniiber I, da man die abgeanderten Ne- benbedingungen von II und ill mittels der in Kapitel II (Abschnitt 3) beschriebenen Verfahren auf die Form I bringen kann, indem man etwa eine Gleichungsrestriktion durch zwei Ungleichungsrestriktionen ersetzt oder eine unbeschrlinkte Variable als Differenz zweier nicht-negativer Variablen ansetzt. Will man umgekehrt Problem I auf die Form II bringen, so fUhrt man fUr jede Ungleichungsrestriktion aus (4. 3) eine Schlupfvariable Yj ein und ersetzt aj x b durch aj x + Yj= b, Yj 0, kurz j j Ax+y=b, y O. (4. 8) Mit (4. 9) x= 11---;--l A* = II AlE II, C* = 11-- -+-g--l p* = 11---s---11 ist Problem I aquivalent dem Problem min {p*' x* + X*' C* x* I A* x* = b, x* OJ, (4. 10) das die gewiinschte Form II hat.

Im ersten Kapitel haben wir den Funktionsbegriff und die wichtigen Begriffe des Grenzwertes und der Stetigkeit einer Funk tion eingefuhrt. Will man die Anwendungsmoglichkeiten des Funk tionsbegriffs erweitern und seine Aussagekraft vertiefen, so mussen wir das Verhalten der Funktionen naher untersuchen. Wir mussen vor allem die Art und Weise, wie sich der Funktionswert f(x) andert, wenn x einen bestimmten Bereich durchlauft, naher be trachten. Besondere Bedeutung kommt der durchschnittlichen An derung einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu. Unter der durchschnittlichen Anderung der Funktion f im Intervall x:::::: x + Li x verstehen wir den Quotienten f(x + Li x) - f(x) Lif(x) Lix . Lasst man die Intervallange Lix gegen 0 streben, so strebt unter .. d d D h h . Lif(x) . b. U mstan en er ure se mttswert gegen emen estImmten Grenzwert. Derartige Grenzwerte, die in der Mathematik und in der Wirtschaftswissenschaft grosse Bedeutung besitzen, bilden den Ge genstand dieses Kapitels. 2.2 Der Differentialquotient 2.2.1 Definition des Differentialquotienten Die Funktion f sei im Intervall a::: x::: b definiert. Sind x und x + Li x zwei Punkte des Intervalls, so betrachten wir zunachst die 00 Lif(x) f(x + Lix) - f(x) durchschmtthche Anderung = Lix von f 1m Intervall x:::::: x+Lix (bzw. x+Lix:::::: x). Lif(x) Man nennt auch einen DijJerenzenquotienten von f an der Stelle x. Lix 67 Die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten lasst sich aus der Abb. 46 leicht ablesen. Es gilt: tgtp = Af(x) ."

Hiermit legen wir den zweiten Band der geplanten drei Teile der "Mathematik für Ökonomen" vor. Wie beim Band I über die Analysis von Funktionen einer Veränderlichen haben wir eine auf die besonderen Bedürfnisse des Studiums der Wirtschaftswissen­ schaft und der Unternehmensforschung ausgerichtete Darstellung der linearen Algebra gewählt. Dabei haben wir uns bemüht, die mathematische Theorie mit Anwendungen aus diesen beiden Dis­ ziplinen zu verbinden. Beim vorliegenden Stoffgebiet ist es sinnvoll, zunächst in den Abschnitten 1-6 die Grundlagen zu schaffen und die Anwendungen in den Abschnitten 7-9 zusammenhängend zu bringen. Infolge der rasch fortschreitenden Entwicklung der mathe­ matischen Wirtschaftswissenschaft und der Unternehmensfor­ schung können wir keinen Anspruch auf Vollständigkeit der typi­ schen Modelle erheben, haben aber auf die Auswahl der Beispiele besondere Sorgfalt verwendet. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, die Ausführungen über die lineare Algebra vor die Behandlung der Funktionen mit mehre­ ren Veränderlichen zu stellen, für die nun der Band III vorgesehen ist. Zum Studium dieses Bandes sind aber keine Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung notwendig. Der Inhalt des vorliegenden Bandes beruht auf Aufzeichnungen von Vorlesungen, die H. P. KÜNZI während mehrerer Jahre an der Universität Zürich gehalten hat. Die Abschnitte mit den ökono­ mischen Anwendungen stammen zum großen Teil aus Kursen von M. BEcKMANN, die an der Brown University, der Universität Bonn und der Technischen Universität München veranstaltet wurden. Die eigentliche Ausarbeitung des Textes, die zahlreichen Ergän­ zungen und die geschicktere Anordnung des Stoffes hat Herr Dr.

Das vorliegende Heft der Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems verfolgt den Zweck, Interessenten der Nicht- linearen Optimierung (Programmierung) mit einigen gangigen Algo- rithrnen vertraut zu machen. Die Auswahl erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit, am ehesten konnte man sie als Erganzung zu den in der II Nichtlinearen Programmierung" von KUnzi-Krelle-Oettli be- schriebenen Methoden betrachten. Eine ausfUhrlichere und vollstandigere Darstellung wird einer Neu- auflage des erwahnten Buches vorbehalten bleiben. Besonderes Gewicht im Sinne einer Materialsammlung legten wir auf die im Anschluss an die Verfahren beigefUgte Bibliographie der Nicht- linearen Programmierung nebst ihren Grundlagen und Erweiterungen. Sie wird dem Leser die Moglichkeit geben, sich - auch unabhangig von der Sekundarliteratur - ein getreues Bild Uber den heutigen Stand dieser Theorie zu verschaffen. Eine derart ausfUhrliche Bestandesauf- nahrne existierte unseres Wissens bisher nicht. Wir mochten noch darauf hinweisen, dass die einzelnen Kapitel durch- gehend numeriert sind. FUr die Formelnumerierung wurden runde Klammern verwendet, eckige Klammern beziehen sich auf die am Schluss jedes Kapitels zitierten Arbeiten. Abschliessend mochten wir der Stiftung Volkswagenwerk in Hannover fUr den uns gewahrten Forschungskredit den herzlichsten Dank aus- sprechen.

Die vorliegende EinfUhrung wendet sich an einen Leserkreis, der keine Vorkenntnisse in der Unternehmensforschung besitzt. Die wichtigsten mathematischen Hilfsmittel werden im ersten Kapitel bereitgestellt. Es handelt sich um Notationen aus der Mengenlehre und der Linearen Algebra. Spezielle mathematische Hilfsmittel sind dann erlautert worden, wenn es fUr die Darstellung nUtzlich er schien. Die Beschrankung der EinfUhrung auf zwei Bande machte es not wendig, eine Stoffauswahl zu treffen. Da jedoch viele Verfahren der Unternehmensforschung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Zusammenhang stehen, hielten es die Verfasser fUr zweckmafiig, in den Kapiteln 2 und 3 elementare Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik einzufUhren. So werden im Kapitel 2 die Konzepte Wahrscheinlichkeitsraum, zu fallige Variable und Verteilungsfunktion, Momente von Verteilun gen sowie Produktraum erortert. 1m Kapitel 3 werden einige spe zielle Testverfahren betrachtet und durch Beispiele aus dem Bereich der Marktforschung erlautert. Eine Anwendung der Wahrschein lichkeitsrechnung findet man in Kapitel 4, in dem Simulationsver fahren (Monte-Carlo-Methoden) behandelt werden. FUr wertvolle Ratschlage, die an vielen Stellen zur Verbesserung des Manuskriptes fUhrten, haben die Verfasser zu danken. Neben .den Herren Dr. G. HAMMER, J. HOLSMANN und H. NOLTEMEIER gilt unser Dank im besonderen unserem verstorbenen Freunde und Kol legen KARL FORSTNER sowie den Herren Diplom-Mathematikern B. GOLDSTEIN, B. RAUHUT und V. STEINMETZ."

Der vorliegende Band 39 stellt inhaltlich die Fortsetzung des Bandes 38 dieser Reihe dar. Er enthalt Einflihrungen in Gebiete der Unternehmensforschung, die gegenwartig im Mittelpunkt des In teresses stehen. Die Kapitel5, 6 und 7 sind der Optimierungstheorie gewidmet (Kapitel 5: Lineare Optimierung, Kapitel 6: Nichtlineare Optimierung, Kapitel 7: Dynamische Optimierung). Zum Teil sind dabei die Methoden allgemein dargestellt worden, wahrend an anderen Stellen die benutzten Verfahren nur an Beispielen erlautert werden. Eine Erganzung findet die Lineare Optimieningstheorie im Kapitel 8, in dem Strategische Spiele behandelt werden. In Kapitel 9 werden ein-und mehrperiodige Lagerhaltungsmodelle diskutiert. An einigen Beispielen wird in Kapitel 10 das Vorgehen bei Ersatz problemen geschildert. Einige einfache Warteschlangenprobleme sind in Kapitel 11 gelost. Wahrend es sich in den beiden letztgenannten Kapiteln darum handelte, die wesentlichen Fragestellungen aufzuzeigen, hielten es die Verfasser flir angebracht, die Kapitel12 und 13 als systematische Einftihrung in die Graphentheorie bzw. Netzplantechnik abzufas sen. Dies scheint gerechtfertigt, da. sich viele Aufgabenstellungen aus dem mikrookonomischen Bereich a\s graphentheoretische Probleme formulieren lassen und die Graphentheorie leistungsfahige Losun- methoden zur VerfUgung stellt. . Auch flir die Abfassung des zweiten Teils dieser Einflihrung konnten wir zurUckgreifen auf die wertvolle Hilfe der Herren Dipl. Math. B. GOLDSTEIN, Dr. G. HAMMER, J. HULSMANN, Dr. W. LANDIS, Lic. oec. R. LANDTWING, H. NOLTEMEIER, Dipl.-Math. B. RAUHUT, V. STEINMETZ sowie unseres verstorbenen Freundes und Kollegen KARL FORSTNER. Dafiir haben wir vielmals zu danken. Dem Springer-Verlag haben wir fUr das Eingehen auf viele WUnsche und die vorzUgliche Betreuung zu danken."

Die Theorie der quasikonformen Abbildungen gehOrt gegenwartig zu einem der modernsten Forschungszweige innerhalb der Analysis bzw. der Funktionentheorie. Aus diesem Grunde ist es sieher gegeben, fiber dieses Gebiet eine Zusammenfassung in Form eines Ergebnisbandes zu schrei- ben. DaB aber bei einer ersten derartigen Darstellung verschiedene Schwierigkeiten zu fiberwinden sind, nicht zuletzt auch in rein didakti- scher Hinsicht, stellt sich wahrend der Bearbeitung eines solchen Stoffes Ofters heraus. So hat es sich unter anderem a1s recht heikel erwiesen, schon nur die verschiedenen Definitionen, welche fiber quasikonforme Abbildungen existieren, auf einen einigermaBen gleichen Nenner zu bringen. Da neben einer russischen Darstellung (VOLKOVYSKIJ [2]) fiber das vorliegende Forschungsgebiet noch keinerlei Lehrbficher existieren, habe ich besonders Wert darauf gelegt, an einigen Stellen etwas tiefer in die Beweisverfahren einzudringen, als dies ublicherweise in der vorliegenden Reihe der Ergebnishefte der Fall ist. In verdankenswerter Weise hat mir Herr A. TEBLING verschiedene russische Arbeiten ins Deutsche ubersetzt, wodurch es mir ermoglicht wurde, auch die sonst nur schwer zugangliche russische Literatur zu berucksichtigen. Neben dem hier dargestellten zweidimensionalen Fall beschaftigt sich die neueste Forschung auch schon mit dem Studium der quasikonformen Abbildungen in hoherdimensionalen Raumen; doch befindet sich diese Untersuchung noch derart im Flusse, daB eine zusammenhangende Dar- stellung daruber heute noch nicht moglich ist; in einem Nachtrag wird lediglich auf einige der jungsten Ergebnisse hingewiesen. Ich erachte es als eine besonders angenehme Pflicht, an verschiedene Adressen meinen herzlichsten Dank zu rich ten. An erster Stelle danke ich meinen Lehrern der Funktionentheorie, den Herren Professoren R.