K. Diederich

Dieses Buchlein ist aus den vier doppelstOndigen Vorlesungen her- vorgegangen, die die Autoren anlaBlich des DMV-Seminars gleichen Titels auf der Jahrestagung der DMV 1979 in Hamburg gehalten haben. Sein Text enthalt zwar wesentlich mehr Details als die Vorlesungen. Dennoch war es nicht unsere Absicht, ein "luckenloses" Textbuch zu schreiben. Viel- mehr haben wir lediglich versucht, dem Leser ein moglichst ubersicht- liches Bild neuerer Ergebnisse und Methoden in der Theorie der Konvexitat in der komplexen Analysis zu geben. Wir wollten damit zum einen dem Inter- esse desjenigen Nichtspezialisten entgegenkommen, der sich einen Eindruck von dem hier behandelten Gebiet verschaffen will, und zum anderen dem (an- gehenden) Spezialisten als Vorbereitung auf die Lekture der technischen Details in den Originalarbeiten einen Uberblick uber die Grundbegriffe, Zusammenhange und motivierende Fragestellungen geben. Wir hoffen, damit dem Ziel der 1979 zum ersten Mal durchgefuhrten DMV-Seminare entsprochen zu haben. Und wir danken der DMV und ihrem Vor- sitzenden, Herrn Professor Dr. Gerd Fischer, dafur, uns die Moglichkeit gegeben zu haben, das eigene Arbeitsgebiet einem groBeren Kreis insbeson- dere auch jungerer Mathematiker vorstellen zu konnen. Ebenso danken wir allen Seminarteilnehmern fur ihr lebhaftes Interesse. Bei der Anfertigung der Ausarbeitung hat uns Fraulein Mechthild Behrens wertvolle Hi lfe geleistet. Ein besonderer Dank gebiihrt schliefl- lich Frau M. Arlt und Frau D. Lindner fur die sehr groBe Sorgfalt, die sie auf die Herstellung des Typoskripts verwendet haben. Wuppertal K. Diederich Bonn I. Lieb INHALTSVERZEICHNIS EINLEITUNG Kapitel I.

Neue Blicke durch die alten Locher G. CH. liCHTENBERG o. Funktionentheorie ist nach klassischem Sprachgebrauch die Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veranderlichen. Der BegrifT der holomorphen Funktion kann im wesentlichen auf drei Weisen eingefUhrt werden: einmal durch die Forderung nach komplexer DifTerenzierbarkeit, zum anderen durch die Bedingung der Existenz einer Stammfunktion im Kleinen, und schlieBlich durch die Voraussetzung der lokalen Entwickelbar keit in eine Potenzreihe. Durch die Aquivalenz dieser methodisch verschiedenen Definitionen gewinnt die Funktionentheorie zu ihrem Reichtum die Ge schlossenheit hinzu, urn derentwillen C. L. Siegel sie in seinen Vorlesungen als ein einmaliges Geschenk an die Mathematiker bezeichnet. Dieses Taschenbuch ist der erste Teil einer zweibandigen Darstellung der Grundlagen der Funktionentheorie, die auf eine an der Universitat MUnster im Sommersemester 1968 und Wintersemester 1968/69 yom zweiten der beiden Autoren gehaltene Vorlesung zurUckgeht. Die beiden Zugange zur Funktionen theorie, die Cauchysche Theorie der komplex difTerenzierbaren Funktionen einschlieBlich der Theorie der Stammfunktionen und die WeierstraBsche Theorie der in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen, werden darin zunachst unabhangig voneinander dargelegt. Dadurch wird insbesondere die Tragweite des WeierstraBschen Ansatzes deutlich, die in den heute meist gegebenen gemischten Darstellungen nicht so sichtbar wird. AuBerdem treten die StelJen im . Aufbau der Funktionentheorie besonders klar zu Tage, an denen das Zu sammenwirken der beiden Ansatze unumganglich zu sein scheint."