K. Fritzsche

The present book grew out of introductory lectures on the theory offunctions of several variables. Its intent is to make the reader familiar, by the discussion of examples and special cases, with the most important branches and methods of this theory, among them, e.g., the problems of holomorphic continuation, the algebraic treatment of power series, sheaf and cohomology theory, and the real methods which stem from elliptic partial differential equations. In the first chapter we begin with the definition of holomorphic functions of several variables, their representation by the Cauchy integral, and their power series expansion on Reinhardt domains. It turns out that, in l:ontrast ~ 2 there exist domains G, G c en to the theory of a single variable, for n with G c G and G "# G such that each function holomorphic in G has a continuation on G. Domains G for which such a G does not exist are called domains of holomorphy. In Chapter 2 we give several characterizations of these domains of holomorphy (theorem of Cartan-Thullen, Levi's problem). We finally construct the holomorphic hull H(G} for each domain G, that is the largest (not necessarily schlicht) domain over en into which each function holomorphic on G can be continued.

Das vorliegende Buch ist aus einftihrenden Vorlesungen tiber Funktionentheorie mehre- rer Veranderlicher entstanden. Seine Idee ist es, den Leser exemplarisch mit den wich- tigsten Teilgebieten und Methoden dieser Theorie vertraut zu machen. Dazu gehoren et- wa die Probleme der holomorphen Fortsetzung, die algebraische Behandlung der Po- tenzreihen, die Garben-und die Gohomologietheorie und die reellen Methoden, die von den elliptischen partiellen Differentialgleichungen herrtihren. 1m erst en Kapitel beginnen wir mit der Definition von holomorphen Funktionen mehrerer Veranderlicher, deren Darstellung durch das Gauchyintegral und deren Po- tenzreihenentwicklung auf Reinhardtschen Korpern. E s zeigt sich, daJ3 es im Gegensatz zur Theorie einer Veranderlichen ftir n 2 Gebiete G, d c a:: n mit G c d und G '" d gibt, derart, daJ3 jede in G holomorphe Funktion sich nach d holomorph fortsetzen laJ3t. Gebiete G, die kein solches G besitzen, heiBen Holomorphiegebiete. Diese Holomorphie- gebiete werden im zweiten Kapitel auf verschiedene Weise charakterisiert (Satz von Gar- tan - Thullen, Levisches Problem). SchlieBlich wird zu jedem Gebiet G die Holomorphie- htille H(G) konstruiert. Das ist das groBte (nicht notwendig schlichte) Gebiet tiber dem n a:: , in das hinein sich jede in G holomorphe Funktion holomorph fortsetzen laJ3t.