Reinhold Remmert

A lively and vivid look at the material from function theory, including the residue calculus, supported by examples and practice exercises throughout. There is also ample discussion of the historical evolution of the theory, biographical sketches of important contributors, and citations - in the original language with their English translation - from their classical works. Yet the book is far from being a mere history of function theory, and even experts will find a few new or long forgotten gems here. Destined to accompany students making their way into this classical area of mathematics, the book offers quick access to the essential results for exam preparation. Teachers and interested mathematicians in finance, industry and science will profit from reading this again and again, and will refer back to it with pleasure.

Indocti discant, et ament meminisse periti 1. Die Idee der Riemannschen Flache wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlichen erst seit Beginn der 50er Jahre konsequent verwendet. Wie in der Funktionentheorie einer Verander- lichen muB man die Gebilde untersuchen, die durch groBtmogliche analytische Fortsetzung von holomorphen Funktionen entstehen. Die gleichen Griinde wie in der klassischen Funktionentheorie machen es notwendig, die Verzweigungspunkte hinzuzunehmen. Das fiihrte jedoch auf begriffiiche Schwierigkeiten, die 1933 H. Behnke und P. Thullen in ihrem Ergebnisbericht sogar veranlaBten, diese Punkte vorerst von der Betrachtung auszuschlieBen. Eine zufriedenstellende Definition des Ver- zweigungsbegriffs wurde erst 1951 von H. Behnke und K. Stein (Math. Ann. 124) gegeben. Die von ihnen eingefiihrten komplex n Riiume um- fassen insbesondere die analytischen Gebilde holomorpher Funktiollen mehrerer Veranderlicher, d. h. die hOherdimensionalen Riemannschen Flachen. Dabei stellte sich heraus, daB diese Riemannschen Gebilde - anders als in der klassischen Funktionentheorie - Punkte ohne lokale Uniformisierende besitzen konnen. Solche Punkte wurden fort an singu- lare Punkte genannt.

An ideal text for an advanced course in the theory of complex functions, this book leads readers to experience function theory personally and to participate in the work of the creative mathematician. The author includes numerous glimpses of the function theory of several complex variables, which illustrate how autonomous this discipline has become. In addition to standard topics, readers will find Eisenstein's proof of Euler's product formula for the sine function; Wielandts uniqueness theorem for the gamma function; Stirlings formula; Isssas theorem; Besses proof that all domains in C are domains of holomorphy; Wedderburns lemma and the ideal theory of rings of holomorphic functions; Estermanns proofs of the overconvergence theorem and Blochs theorem; a holomorphic imbedding of the unit disc in C3; and Gausss expert opinion on Riemanns dissertation. Remmert elegantly presents the material in short clear sections, with compact proofs and historical comments interwoven throughout the text. The abundance of examples, exercises, and historical remarks, as well as the extensive bibliography, combine to make an invaluable source for students and teachers alike

Die Autoren beginnen mit der Primfaktorzerlegung und dem größten gemeinsamen Teiler – Begriffen, die aus dem Schulunterricht bekannt sind, aber bei genauerer Betrachtung viel von ihrer Selbstverständlichkeit verlieren. Sie erörtern das Dezimalsystem, die Kongruenzrechnung, primitive Wurzeln und das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Ihr ausführliches Buch richtet sich an Dozenten, Lehrer und Studenten und ist aber für alle verständlich, die den elementaren Schulstoff beherrschen. Es eignet sich zur Vorlesungsbegleitung und zum Selbststudium. Aufgaben am Ende eines jeden Paragraphen helfen dabei, den Lehrstoff zu üben und zu vertiefen.

Diese dritte Auflage wurde zusammen mit dem zweitgenannten Autor kritisch durchgesehen, ergänzt und verbessert. Ein weiteres Kapitel über geometrische Funktionentheorie und schlichte Funktionen enthält einen Beweis der Bieberbachschen Vermutung. "Der ... vorliegende zweite Band der Funktionentheorie erfüllt voll die Erwartungen, die der erste Band geweckt hat. Wieder beeindrucken vor allem die hochinteressanten historischen Bemerkungen zu den einzelnen Themenkreisen, als besonderer Leckerbissen wird das Gutachten von Gauß über Riemanns Dissertation vorgestellt... Jedes einzelne Kapitel enthält ausführliche Literaturangaben. Ferner werden oft sehr aufschlussreiche Hinweise auf die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher gegeben. Die vielen Beispiele und Übungsaufgaben bilden eine wertvolle Ergänzung der brillant dargelegten Theorie. Der Rezensent bedauert, dass ihm nicht schon als Student ein derartig umfassendes, qualitativ hochstehendes Lehrbuch zur Verfügung stand." Monatshefte für Mathematik

From the reviews: "Theory of Stein Spaces provides a rich variety of methods, results, and motivations - a book with masterful mathematical care and judgement. It is a pleasure to have this fundamental material now readily accessible to any serious mathematician." J. Eells in Bulletin of the London Mathematical Society (1980) "Written by two mathematicians who played a crucial role in the development of the modern theory of several complex variables, this is an important book." J. B. Cooper in Internationale Mathematische Nachrichten (1979)

Diese fünfte Auflage wurde zusammen mit dem zweitgenannten Autor kritisch durchgesehen, ergänzt und verbessert. Die Besprechung zur ersten Auflage ist nach wie vor aktuell. Aus den Besprechungen zur ersten Auflage: "Aufgelockert durch viele Beispiele und Übungsaufgaben, wird die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen bis zum Residuenkalkül entwickelt. Im Zentrum stehen die Integralsätze von Cauchy.... Jeder Paragraph schließt mit historischen Hinweisen, die auch die persönlichen Beziehungen der Beteiligten nicht ausklammern. So erfährt man natürlich die unterschiedlichen Standpunkte von Cauchy und Weierstrass. Neben den Themen, die in keinem Text zur Funktionentheorie fehlen dürfen, findet man auch "Raritäten", etwa: Eisensteins Zugang zu den trigonometrischen Funktionen mittels Reihen oder Ritts Satz über asymptotische Reihenentwicklung, welcher einen berühmten Satz von E. Borel enthält." Elemente der Mathematik

An ideal text for an advanced course in the theory of complex functions, this book leads readers to experience function theory personally and to participate in the work of the creative mathematician. The author includes numerous glimpses of the function theory of several complex variables, which illustrate how autonomous this discipline has become. In addition to standard topics, readers will find Eisenstein's proof of Euler's product formula for the sine function; Wielandts uniqueness theorem for the gamma function; Stirlings formula; Isssas theorem; Besses proof that all domains in C are domains of holomorphy; Wedderburns lemma and the ideal theory of rings of holomorphic functions; Estermanns proofs of the overconvergence theorem and Blochs theorem; a holomorphic imbedding of the unit disc in C3; and Gausss expert opinion on Riemanns dissertation. Remmert elegantly presents the material in short clear sections, with compact proofs and historical comments interwoven throughout the text. The abundance of examples, exercises, and historical remarks, as well as the extensive bibliography, combine to make an invaluable source for students and teachers alike

Die Schwierigkeit Mathematik zu lernen und zu lehren ist jedem bekannt, der einmal mit diesem Fach in Berührung gekommen ist. Begriffe wie "reelle oder komplexe Zahlen, Pi" sind zwar jedem geläufig, aber nur wenige wissen, was sich wirklich dahinter verbirgt. Die Autoren dieses Bandes geben jedem, der mehr wissen will als nur die Hülle der Begriffe, eine meisterhafte Einführung in die Magie der Mathematik und schlagen einzigartige Brücken für Studenten. Die Rezensenten der ersten beiden Auflagen überschlugen sich.

A book about numbers sounds rather dull. This one is not. Instead it is a lively story about one thread of mathematics-the concept of "number"­ told by eight authors and organized into a historical narrative that leads the reader from ancient Egypt to the late twentieth century. It is a story that begins with some of the simplest ideas of mathematics and ends with some of the most complex. It is a story that mathematicians, both amateur and professional, ought to know. Why write about numbers? Mathematicians have always found it diffi­ cult to develop broad perspective about their subject. While we each view our specialty as having roots in the past, and sometimes having connec­ tions to other specialties in the present, we seldom see the panorama of mathematical development over thousands of years. Numbers attempts to give that broad perspective, from hieroglyphs to K-theory, from Dedekind cuts to nonstandard analysis.

Covers material from function theory up to residue calculus, including discussion of the historical evolution of the theory, biographical sketches of important contributors, and citations from their classical works. Includes many examples and practice exercises. Annotation copyright Book News, Inc.